Контрольная работа определенный интеграл и его приложения


Контрольная работа по математике (эун, 3 семестр) Найти дифференциал функции. Вычислить. Контрольная работа по алгебре и началам анализа по теме «Интеграл и его приложения» текстовая, на два варианта. Контрольная работа №ii(1) Функции многих переменных. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл, его приложения. 1.Дана функция. Показать, что. 2.10. Определенный интеграл и его приложения. Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f (x). Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных отрезков точками х 0, х 1, х n: a = x 0. Контрольная работа № 4 по теме "Первообразная и интеграл и его свойства Контрольная.

Контрольная работа № 4 по теме "Первообразная и интеграл и его свойства Контрольная. Определенный интеграл, контрольная работа, Неопределенный интеграл, его свойства и. Контрольная работа. по теме «Техника интегрирования и приложения Интеграл и его. Контрольная работа №2 Сделать чертеж данного тела и его Определенный интеграл от. и основных принципов его и интеграл.» Контрольная Контрольная работа по. Все приложения, графические материалы, формулы, таблицы и рисунки работы на тему: Определенный интеграл (предмет: Математика) находятся в архиве, который можно скачать с нашего сайта.

2.10. Определенный интеграл и его приложения

Пусть на отрезке [a, b] задана функцияy = f (x). Разобьем отрезок [a, b] наn элементарных отрезков точкамих0,х1,…хn:a = x0 < x1 < x2 . < xn = b. На каждом отрезке[xi−1xi ] разбиения выберем некоторую точкуξi и положим∆xi = xi − xi−1гдеi =1, 2. ., n. Сумму вида

n

∑ f(ξi )∆xi

i=1

будем называть интегральной суммой для функции y = f (x) на [a, b].

Если предел интегральной суммы при стремлении max ∆xi к нулю существу-

i

ет, конечен и не зависит от способа выбора точек х1,х2,… и точекξ1,ξ2…, то этот предел называетсяопределенным интегралом от функцииy = f (x) на отрезке [a, b], то есть:

b

n

∫ f(x)dx= maxlim∆x →0

∑f (ξi)∆xi.

a

i

i

i=1

Числа a иb называются нижним и верхним пределами интегрирования; функцияf (x) – подынтегральной функцией, выражениеf (x)dx – подынте-

гральным выражением, а задача о нахождении ∫b f (x)dx – интегрированием

a

функции f (x) на отрезке [a, b].

Основные свойства определенного контрольная работа определенный интеграл и его приложения. ∫a f(x)dx= −∫b f(x)dx

ba

2.∫a f(x)dx= 0

a

3. ∫b

f (x)dx= ∫c

f (x)dx+ ∫b

f (x)dx

a

a

c

4. ∫b [f1 (x)± f2 (x)]dx= ∫b

f1 (x)dx± ∫b

f2 (x)dx

a

a

a

5. ∫b

Cf (x)dx= C∫b

f (x)dx ,С – постоянная

a

a

Правила вычисления определенных интегралов

1, контрольная работа определенный интеграл и его приложения. Формула Ньютона-Лейбница:∫a

f (x)dx= F(x)

b =F(b)−F(a) ,

a

a

где F(x) – первообразная дляf(x), то есть

F (x) = f(x) .

2. Интегрирование по частям: ∫b u dv = uv

b

− ∫b v du,

a

a

a

где u=u(x),v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b].

59

3.Замена переменной: ∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt ,

где x =ϕ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производнойϕ′(t) на отрезкеα ≤ t ≤ β, a =ϕ(α), b =ϕ(β), f [ϕ(t)] – функция, непрерывная на[α, β].

4.Если f (x) – нечетная функция, то естьf (− x)= − f (x), то∫a f (x)dx = 0 .

−a

Если f (x) – четная функция, то естьf (− x)= f (x), то∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx .

−a0

10.1. Вычислить∫1 xe−x dx .

0

∆ Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положимu = x, dv = e−x dx ,

1

1

1

1

e − 2

откуда du = dx, v = −e−x. Тогда∫xe−x dx = −xe−x

+ ∫e−x dx = −e−1 −e−x

= курсовая работа на тему интернет проект +1

=

.

0

0

0

0

2

10.2. Вычислить∫1

ln(1+ x)dx .

0

∆ Пустьu = ln(1 + x), dv = dx. Тогдаdu = 1dx+ x иv = x .

∫1 ln(1+ x)dx = x ln(1+ x)

1 −∫1 x

dx

= ln 2− ∫1

x +1−1

dx = ln 2 − ∫1 dx+∫1

dx

=

0

0 0

1 + x

0

1 + x

0

0 1 + x

1

1

= ln 2− x

+ln

1 + x

= ln 2−1+ ln 2= 2 ln 2−1= ln 4−1.

0

0

10.3. Вычислить∫1

x(2 − x2 )5 dx.

0

∆Положим t = 2 − x2тогдаx dx = − 12 dt. Еслиx = 0тоt = 2 −02 = 2и если

x=1тоt = 2 −12 =1. Следовательно

1

2 5

1

5

1

1 1

5

1

t 6

1

1

6

21

∫x(2 − x)

dx = ∫t

dt = −

∫t dt= −

= −

(1− 2

)=

.

0

2

2

2 2

2

6

2

12

4

10.4. Вычислить∫e

ln 2 x

dx .

1

x

dx

∆ Положимln x = t контрольная работа номер 1 по алгебре 8 тогда

= dt ; еслиx =1тоt = 0 ; еслиx = eтоt =1. Сле-

x

довательно∫e

ln 2

x

dx = ∫1 t2 dt=

1

(13 −0)=

1

.

x

3

3

1

0

10.5. Вычислить∫1 e x+ex dx .

0

∆ Положимe x = tтогдаe x dx = dt ; еслиx = 0тоt =1; еслиx =1тоt = e. Сле-

1

1

e

e

довательно ∫ex+ex dx= ∫ex eex dx= ∫et dt= et

= ee −e .

0

0

1

1

60

Вычислить:

π / 2

3

10.14. 2

e

1

x

10.6. ∫sin 2x dx

10.10. ∫x3 x2

−1dx

dx

0

1

∫1

x2

1

dx

eπ2

1

10.7. ∫

10.11. ∫cos(ln x)dx

10.15. ∫x arctg x dx

2

−1x

+1

1

−1

e

2

2

dx

π

2

10.8. ∫x

ln x dx

10.12.

x

∫1x2 + x

10.16. ∫e

cos x dx

1

2

dx

0

10.9. ∫

10.13. ∫cos5xcos x dx

x2

− 4x +5

1

0

Вычисление площади плоской фигуры

y = f(x) [f(x)≥ 0],

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

прямыми x = a иx = b и отрезком[a, b] осиОх, вычисляется по формуле:

S = ∫b

f (x)dx

( )

a

[f1 (x)≤ f21 (x)]

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1 (x)

и y= f2 (x)

и прямыми x = a ,x = bнаходится по формуле

S = ∫b [f2 (x)− f1 (x)]dx

( )

a

10.17. Найти площадь фигуры, ограниченной кривойy = x2 − 5x + 6 и осями

координат.

∆ Площадь заданной фигуры на интервале [0; 2] будет ограничена сверху кривойy = x2 − 5x + 6а снизуy = 0 ; на интервале [2; 3] будет ограничена сверхуy = 0а снизуy = x2 − 5x + 6. Применяя формулу ( ) будем иметь:

у

S = ∫2 (x2 −5x+ 6 −0)dx+ ∫3 [0 − (x2 −5x+ 6)]dx=

0

2

= ∫2 (x2 −5x +6 −0)dx −∫3 (x2 −5x +6)dx =

0

2

Источник:



0 комментариев

Ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *