Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за


АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию. Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии. 10 класс» Зив Б.Г. Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 1. Оно ориентировано на учебник. Позняка, но может быть использовано при работе и по другим учебникам. Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 8 класс к пособию Б.Г. Зива, В.М. контрольных работ по Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 8.

контрольных работ по Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 8. "Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 7 самостоятельных и. А.С. Рылов Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 8 класс. Сергеева О.Ю. Решение контрольных и самостоятельных работ по химии за 10 и 11 класс к пособию. Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 7 класс к пособию В.А.Гусева и др. 28 самостоятельных и 9 Решение контрольных и самостоятельных работ по алгебре за 8.

Транскрипт

1 АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

2 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ С- Дано:, x ;, не лежат на одной прямой Доказать: x () Доказательство: (); (); (), тк x, то x () Чтд Дано: α β m, a α, a β Найти: пересекаются ли a и m m x Решение Допустим, что прямые a и m не пересекаются m α, a α Значит, a m Значит, a β Это противоречит условию Значит, a и m пересекаются Ответ: a и m пересекаются α a β С- Дано: α β F, α, β В плоскости β через т провести прямую так, чтобы она ) пересекала ; ) скрещивалась с ; ) была параллельна ) ; α F β ) F; ) невозможно провести, если такую прямую возможно было провести, то тк она лежала бы в плоскости β и была параллельна, получилось бы, что β, либо β, что противоречит условию Дано:, Доказать: Доказательство: Тк и, то, а тк, то параллелограмм Чтд 5

3 С- Дано: параллелограмм, F, : F:F Через и F проведена плоскость α Доказать: α Доказательство: F Тк и ( F параллелограмм), то F и F параллелограмм, тогда F Значит, α Чтд α β c a b F α Дано: a α, c a, β α b Доказать: b решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за Решение Тк a α, то a b; тк a b и a c, то b c Чтд С-4 P Дано:, P Доказать: P Доказательство Тк, то ; тк P, то P Значит, (P) () β b c a Дано: α β, α, β, α Построить: β, β, β α β, β, β тк α β () β b, b тк β () β a, a тк β () β c, c тк β 6

4 С-5 Дано: параллелепипед, Доказать: Доказательство: ( ) ( ) (тк и ); тк ( ), то ( ) Чтд Дано: тетраэдр, 90, см Найти S() Решение см, аналогично см, см равносторонний, 60 S() sin60 см Ответ: см С-6 Дано: тетраэдр, P,, P P, Построить: решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за плоскостью P Решение ) проведем прямую P; ) проведем прямую ; ) тк P P и, то P средняя линия в Значит, P решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 4) в плоскости () проведем прямую N, параллельную P; N ; 5) проведем прямую PN; 6) (PN) сечение тетраэдра P N 7

5 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной 8 см, боковые грани прямоугольники, см середина Построить: сечение плоскостью Найти: P сеч Решение ) середина ; ) () сечение искомое, тк см 4 см см P() (0 + ) см Ответ: (0 + ) см С-7 O Дано: правильный треугольник, O его центр, O, O, Найти: расстояния от т до вершин Решение высота, медиана O O + O + (тк правильный и O центр) Ответ: 8

6 Дано: параллелограмм, F Доказать: F Доказательство: Тк параллелограмм, то ; тк () и F (), то F Значит () (F) Чтд F С-8 Дано: квадрат, Доказать: Доказательство: Тк и, то (); тк (), то Чтд Дано: α, 90, α, 5, 4 Найти: S( ) Решение α S( ) Ответ: 84 С-9 Дано: α;, α; H и H проекции и на α H 8, 09, H 4 Найти: P(, α) Решение H x, H 4x H H 4 9x H H 46 6x 4 9x 46 6x ; 7x, x 4 H Ответ: 0 α H 9

7 С-0 Дано: равнобедренный, H высота в 5, 48, 5 Найти: P(, ) Решение H тк равнобедренный H ( ) H H Тк H и H, то решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за ТТП H H H Ответ: 8 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной см, боковые грани прямоугольники 5 см Найти: (, ), ( ; ( )) Решение ( ; ()) (тк параллелепипед прямоугольный) см cos ( ; ( )) 5 см sin Ответ: arccos 5 5 ; arcsin 5 С- L Ответ: 90 0 α β N Дано: ребро двугранного угла, образованного плоскостями α и β LN линейный угол этого двугранного угла LN Найти (, ) Решение Тк плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, то любая прямая, лежащая в плоскости линейного угла, перпендикулярна ребру двугранного угла

8 Дано: прямоугольный ( 90 ), a 0, a, Найти: (, ) Решение, ((), ()), тк () и () a sin a tg a a a 60 Ответ: 60 С- Дано: ( прямоугольник) Доказать: 90 Доказательство: ((), ()) 90 перпендикуляр к плоскости (), Тк и, то (), тк (), то Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, прямой Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, F, середины,, 4, 6, 56 Построить: сечение F Доказать: F Найти: ) проведем F; ) проведем F; ) в плоскости () проведем прямую, параллельную F; 4) (F) искомое сечение F

9 середина Тк F середина и середина, то F Значит, F () Значит, (F) () ) ; 0 6 Ответ: С- Дано: правильная треугольная призма, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, центр Найти: (, ()) (, ()), где середина (те В, тк ) высота и медиана в tg ; 60 Ответ: 60 Дано: правильная четырехугольная призма, 4 см, ((), ()) 45 Найти: S() Тк квадрат, то По ТТП, значит, см, см Тк 45, то прямоугольный равнобедренный, см S() см Ответ: 8 см (ТТП теорема о трех перпендикулярах)

10 С-4 Дано: прямая призма, прямоугольный ( 90 ) 4, 60 Найти: S бок Тк и, то ( ) прямоугольный; tg S бп P() ( + + ) ( ) 9 9 Ответ: 9 С-5 Дано: наклонная треугольная призма, прямоугольный ( 90 ) Доказать: прямоугольник Доказательство: Тк ( ) () и, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, то ( ), значит, Значит, прямоугольник Чтд Дано: S 70 см, S 50 см, P 60, 0 см S 50 см S 70 см Найти: S бок? (P) P, Тк параллелограмм, то S P см 50 P P 5 см 0 Тк параллелограмм, то см S 70 см

11 По теореме косинусов из P P + P КP cos P P Тк (P) P, тк P Тогда S P 0 0 см (тк и параллелограмм) S бок см Ответ: 50 см С-6 Дано: P 4 см, 6 см Найти: S пп квадрат P P P см P высота, тк пирамида правильная P см S см Высота на основание, тк он равнобедренный, равна: h 5 см S 56 5 см 4 S пир см Ответ: 96 см Дано: правильная треугольная пирамида, a, H высота, H a Найти: H; H? H радиус окружности, описанной около, H H a ; тк H cos0 4

12 H a 6 из H: H 90 tg(h) H a H arctg H радиус окружности, вписанной в ; H 6 a H a из H: tg(h) 4 H a 6 H arctg( 4 ) Ответ: arctg, arctg( 4 ) С-7 Дано: пирамида, прямоугольный ( 90 ), 0, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, a, H 60, где МH высота пирамиды Найти: H? Т к все ребра равнонаклонены к основанию, то H центр описанной окружно- H сти Высота H, где H, тк центр описанной окружности a ( 90 ), и H H; из : sin0 H H a H a; из H: tg60 H a H a Ответ: a Дано: (), пирамида (, ) 60, 0, 6 Найти: S бок равнобедренный высота и медиана ; тк () высота и медиана, медиана, а тк (), то В и равнобедренный высота 5

13 Следовательно и (, ) 60 из : tg(60 ) 6 S S ; S 6 96 Sбок Ответ: С-8 Дано: правильная треугольная пирамида, a, грани наклонены под углом 60, через среднюю линию основания, параллельно боковой грани, проведено сечение Найти: S сеч QR средняя линия основания QR, QR, QS QSR искомое сечение Из подобия следует, что его площадь в четыре раза меньше площади a, H H cos 60 S сеч 4 S R H Q a 6 a a Ответ: 4 6 a a a a S() a 6 PH равнобедренный, H PH P H Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида 8, 6 Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 Найти: S бок? Тк PH 45, H P 90 6

14 тк равнобедренный, то P середина PH средняя линия PH 4 P H + PH тк и P подобны, то P P, но P 4 P 4 P 4 P P S 7 P S бок Ответ: 8 С-9 Дано: параллелепипед, прямоугольник, F F ) векторы, сонаправленные F : ; (тк сонаправленность: если векторы параллельны или лежат на одной прямой имеют одинаковое направление); ) векторы, противоположно направленные : ( ); uuuur ; uuuur uuuuur uuuur uuur решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за uuur ) имеют длину, равную : ; ; ; ; ; ; Дано: a α, a β, β α b, a;, b Найти: при каком условии и коллинеарны коллинеарен, если a b a α a β b α F 7

15 С-0 Дано: параллелепипед Найти: + + +? uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuuur, uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Ответ: Доказать, что: ( + ) ( + ) Доказательство: ; + ; + ; + ; Чтд С- Дано: тетраэдр, uuuur uuur uuur Изобразить: uuur uuuuur uuur uuur uuuur ; ;, отложим uuuuur uuuur uuuuur от точки вектор, получим искомый Дано:, ; P P Выразить: P через P P P ; P средняя линия P ; uuur uuur uuur P P P Ответ: uuur 8

16 С- Дано: тетраэдр,, a r, b r c r Разложить: uuuur по a r, b r, c r uuuur uuur uuur r r ( + ) ( a + c ) ; uuuur uuuur r r a решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за c ; + a+ c b r r r Ответ: r a+ r c b r 4 4 Дано: точка пересечения медиан, по, uuuur uuur uuur uuur ( + ) ; uuuur uuuur uuur uuuur uuur + + ; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ( + + ) + ; uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ответ: + + С- Дано: правильная треугольная призма, ) S ппп? S S бок 6; S S полн пов 6 + 9

17 ) S? 5 5 Из : + 5 S ) Найти? sin( ) arcsin 5 4)? 90 ; ; sin( ) 0 5) +? 5 ; ; + ; 6) Доказать, что ; ( ) Ответ: ) 6; ) ; ) arcsin ; 4) 0 ; 5) 5 ВАРИАНТ С- Дано: a b 0, a, b, Y Доказать, что a, b и Y лежат в одной плоскости Y a O b Доказательство: a и b лежат в одной плоскости α; a и b, α тк, α, тк Y Y α Чтд 0 α

18 Дано: α β c, a β, b α Доказать, что линия пересечения α и β Доказательство: α c линия пересечения α и β b β, c β c b ; аналогично: a c, c совпадает с c Чтд b a β c С- В β через провести прямую так, что ) она пересекала Невозможно, тк β ) скрещивалась с соединить с F ) параллельна : провести параллельно F прямую T α (T F ) Дано:,, Доказать, что Доказательство: Тк и параллелограмм, параллелограмм и Чтд F T β С- Дано: ; F ; ; α Найти: F : F, F () Тк F α, а α F по теореме Фалеса F F : F F Ответ: / α F

19 α Дано:, α; ; Доказать, что α Доказательство: Тк и параллелограмм, тк α Чтд С-4 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк и общий Аналогично из и : ; ; Чтд Дано: α β;, β;, α Построить: α, β Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за Строим прямая α Строим N прямая N β С-5 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк дан параллелепипед и ; ; ( ) ( ); Чтд Дано: 60 ; 4 см Найти: S? равнобедренный, тк ; 60 равносторонний, 4

20 равносторонний, со стороной 4 S sin Ответ: 4 см С-6 Дано:, 0, (N) () Найти: S N? Тк и, а N N 5; N N N Пусть N высота, а значит и медиана N 69 5 N 6 S N Ответ: 5 Дано: P ; Построить сечение через P и параллельное Построение: Строим PP и P P требуемое сечение P P С-7 Дано: 90, O (), O Найти: O () O 90 ; O + + Ответ: O

21 Дано: и () Найти взаимное расположение линии пересечения () и () и (); () ; () (), () Ответ: они параллельны С-8 Дано:, 90, () Доказать, что Доказательство: () ; () Чтд Дано: параллелограмм, 4, 6, (), Найти: S пар? По теореме о -х перпендикулярах ( ; ; перпендикуляр), проекция прямоугольник S Ответ: 4 С-9 α T Дано: T α, T T 0, 90, T Найти: Из T: T 0 ; прямоугольный Ответ: 4 4

22 С-0 Дано: 90, 0, a, a (), Найти: ρ(, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, ) Пусть и По теореме о -х перпендикулярах a 90 sin0 из : a a a a ρ(, ) Ответ: a Дано: параллелепипед, и все боковые грани прямоугольники 90, 90, 5, 5 Найти: (; ), ( ; ) )?5 cos( ) 5 arccos 5 )? 5 sin( решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за arcsin 5 Ответ: arccos ; arcsin 5 С- Дано: N c, c c a, c b Доказать, что линейный Доказательство: c a, c b c α c, c линейный Чтд c a b 5

23 Дано: ромб, 60, m m, (), Найти: (; ) Искомый угол? Тк ( середина ) и m m из : m 4 m tg() arctg 45 m Ответ: 45 С- Дано: () (), 90 Доказать, что 90 Доказательство: Тк () () и прямоугольник () 90 Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, 5, 4, 77 Построить сечение плоскостью, проходящей через и Найти: ) Искомое сечение, где, середина ;, ( ), а тк () () ( ) )? Ответ: 6 6

24 С- Дано: правильная четырехугольная призма, 5, середина Найти: ( ; ) H H и H 5 H H + 5, тк H середина, тк середина ; (С, ) H 45 Ответ: 45 Дано: правильная треугольная призма, N средняя линия, N, (PN, ) рфэи налоги и налогообложение контрольная работа ответы, P P, 4 см N Найти: S(PN) H 4 N ; H H 4 P cos 60 S(PN) Ответ: см С-4 Дано: прямая призма, 90, 0, 0, 5 Найти: S бок (по теореме о -х перпендикулярах: ) 5;

25 S бок ( + + ) 5 (5 + 0) Ответ: С-5 Дано: параллелепипед, прямо- угольник, 90, ( ) () Доказать, что прямоугольник Доказательство: Тк ( ) (), а ( ) прямоугольник Чтд Дано: призма, S( ) 5 см, S( ) 5 см, 5, 0 Найти: S бок S гран 5 5; аналогично по теореме косинусов: ; 7; из по тереме о -х перпендикулярах:, S S бок Ответ: 75 см С-6 Дано: правильная пирамида, H высота, H см,, 5 см Найти: S полнпов H 0 H ; x из : x; x x 5; x 900; 4 x 50 00; x 0 0 S 75 8

26 S 0 65 Sполн Ответ: 70 см Дано: правильная пирамида, a, высота a Найти: и Из : a + a a ; a ; a 6 из : tg() a arctg a a tg() 6 arctg6 a Ответ: arctg, arctg 6 С-7 Дано: пирамида, a, 50, H H H 45 Найти: H H высота из равенства углов 45 H H H H H центр описанной окружности; R sin R; R a H a H a Дано: F, F 0 6, P 0, P (F), P 60 Найти: S бок P (F); P F F (по теореме о -х перпендикулярах) P (P, (PF)); из P: P 60 P P 0 0 из : F H P 9

27 S P P S PF P F Sбок Ответ: С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, SH 60, H S S Найти: S a H S a H a, cos 60 H a тк H средняя линия S S() a a Ответ: H T a S N Q R P 7 Дано: NP правильная треугольная усеченная пирамида, 8 см, N 6 см, (, ) 60 Найти: S бок Пусть TQR проекция NP на S(TQ) (S() S(TQR)) (8 6) TH S ( TQ ) ( TQ ) TH H + cos60 S бок (H + ) 4 Ответ: 4 см 0

28 С-9 Дано:, Записать вектора, которые: решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за противоположно направлены ; ) сонаправлены ; ) имеют длину, равную ) ; ; ) ; ; uuuur uuuur uuuur uuur ) ; Дано: γ α a; γ β b;, a, b Могут ли и быть коллинеарными? α a γ Могут, если α β β Ответ: могут b С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + ; + ; + O Ответ: O ur Доказать, что ( + F F) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur F F ; F F F + F ; ; + ; Чтд С- Дано: F тетраэдр Изобразить: F,5 + 0, 5F S, 5 ; T F ; P F S + T P F T S F P

29 Дано:, F, F F, () uuuur uuur Выразить через ( F ) ( + ) ; F ( + ) ; С- + F F uuur uuuur F Ответ: ( ) Дано: параллелепипед a, b, c, Разложить по a, b, c a + b + c (правило параллелограмма) + ( a + c) + a c a + b + c a c b + + Ответ: a r r + b + c r F Дано: тетраэдр, точка пересечения медиан Разложить по, ( + + ) ; ; + ; + ( + ) + Ответ: uuur uuur uuur +

30 С- Дано: правильная четырехугольная пирамида, см, см Найти: ) S полнпов H S 4 ед ; 8 7 S 7 7 S полн 4( + 7 ) ) S? Из : правильный треугольник S sin() решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за H: из п : H 60 4) ^ H? Из H: H 8 6 ; H tg(h) 6 ; H arctg 6 5) см 6) Доказать, что H (), H Чтд Ответ: ) 4( + 7 ) см ; ) см ; ) 60 ; 4) arctg 6 ; 5) см ВАРИАНТ С- Найти: в чем ошибка чертежа? O O P F P F α Точки, и должны лежать на одной прямой Ответ: α

31 Q Дано: куб, F Построить: ) F, F ; F ) F F; P ) F Построение: F F P R F F Q F F F F R, где R R, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, R F С- 4 α b a c Доказать: и, и, и скрещивающиеся Доказательство: ( ), ( ), ( ) Каждая пара прямых не лежит в одной плоскости Чтд Дано: b α, a α, a b, b, c, α, c a Доказать: c α Доказательство: b α, a b a α; c a c b и c, и α c α Чтд С- Дано: a b, a α Найти: взаимное расположение b и α b не может пересекать α, тк в этом случае a должно пересекать α Поэтому либо b α, либо b α Ответ: b α, либо b α Дано: параллелограмм,, 0,

32 ) Построить:, ) Найти: (, ) ) Строим, тогда, ) (, ) (, ) Ответ: 50 С-4 Доказать, что F F Доказательство: F F, F, F (F) ( F ); () (F) F, () ( F ) F F F F F F F Чтд Дано: α β α, β Найти: взаимное расположение и F F ) Если либо ; ) если и скрещиваются и скрещиваются 5

33 С-5 Дано: параллелепипед, F F F, F Доказать, что Доказательство: F средняя линия F, прямоугольник, и диагонали Чтд Дано: 60, 5 см, 8 см, 8 см Найти S? Из : + cos49 6 S 8 4 Ответ: 4 см С-6 S P Дано: тетраэдр,, P, P : P :, все ребра равны a Построить сечение, проходящее через P и параллельно Найти его площадь Строим SP (S ) SP наше сечение S P, тк SP S : S : ; a a ; P 4 a ; P 60 P 5 a + a a a a a a a a P S ; SP H SP 4 4 H 6 a a a a S a 4 a Ответ: 64 a 64

34 Дано: параллелепипед, P, Построить: сечение, проходящее через, и P Построение: P F, F G, GP PG искомое сечение P F G С-7 Дано: не пересекает α, α, α, 0, 0, : :, α Найти:,, Получили трапецию : H H 5 ; H 0 5H H 0 H H Ответ: 4 Дано: a α, a β, γ α b, γ β c Найти: взаимное расположение b и c a α и a β α β b c Ответ: они параллельны α H H С-8 Дано: квадрат, () Доказать: Доказательство: Строим H ; H 90 ( квадрат) По теореме о -х перпендикулярах: H Чтд Дано: прямоугольник, (), 5, 4, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, 0 Доказать: прямоугольный Найти:, () H 7

35 по теореме о трех перпендикулярах 90 Чтд Ответ: 7 С-9 Дано: α β, β, α, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, β, α, 6, 5, H Найти: H α По теореме Фалеса, β Аналогично H H 0, H H 5 H 6 H искомое расстояние Ответ: 5 С-0 a Ответ: a H Дано:, a, 60, ромб со стороной a Найти: расстояние (; ), Найдем ρ(; ); a 60 из : a a + + a 4 4 Дано:, 8, 0, H (), H (), H Найти: H Из : + cos0 8 8cos0 64( cos0 ) H H sin() sin0 8

36 tg(h) H H sin0 sin0 ctg65, 64( cos0 ) 6( cos0 ) 6 H arctg ctg 65 6 Ответ: arctg ctg 65 6 С- Дано: и лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С ( β, α) ρ(, ) 6, ρ(, ) 0 ρ(, β) 7,5 Найти: ρ(; α) Пусть S c, S c S 6 Пусть S c, S c S 0 Пусть T β и T β T 7,5 Пусть теперь S S и S S c ρ(, β) ρ(, β) T S TS Искомое ρ(, β) ρ(, β) T T S (по ТТП) T 7,5 Из T S : sin T S S 0 4 Пусть α и α По ТТП S, ρ(, α) Ssin T S 9 T S S T β α Ответ: 9 Дано: ромб, α, 45, (α, ) 0 Найти: (α, ) Пусть a, H, H, H 0 a, a, H a N H α a H Ответ: 45 a a H (α, ) 45 9

37 С- a 4 H tg H Дано: и правильные, () () Найти: tg( (; )) H, H H a, где a сторона a H, 60 H H sin60 4 a Ответ: a Дано: правильный параллелепипед, квадрат, 6 Найти: Доказать: Тк,, то Чтд Ответ: 4 С- L Дано: правильная треугольная призма, через середину и проведена плоскость, 4 см, см Найти: S сеч Пусть середина Проведем L, L L искомое сечение L L

38 L + S сеч h L, h Ответ: 7 см Дано: прямой параллелепипед, ромб, 60, a, (, ) 45 Найти: S сеч, H H H 45 H sin( ) a H 6 6 a Sсеч a Ответ: 7 6 a ; a S сеч 7 С-4 Дано: прямой параллелепипед, 7, 50, (, ) 60 Найти: S бок Пусть H H H sin50 sin50 sin50 7 H H tg60 6 (7 + ) Ответ: (7 + ) H С-5 Дано: наклонная призма, правильный, a, b, Найти: S( ) Пусть H проекция (H ), 4

39 тогда H биссектриса H и S ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, Р(, ) Р(, ) +, Р(, ) 9, S бок 40 Найти: углы между смежными боковыми гранями N P Пусть NPQ перпендикулярное сечение Q P 9, N + NP, N + NP NP 6, N 5 cosnp N + NP P N NP 5 6 (, ) 0 (, ) 60 Ответ: 60 С-6 O H Дано: правильная треугольная пирамида, Р(, ) Найти: S бок Пусть проецируется курсовая работа на тему праздники в школе т O, H H H H, 60 H 6 O 4, тк 6, sin 60 то 4 S бок Ответ: 4 S Дано: S правильная четырехугольная H пирамида, 4, O центр, Р(O, S) Найти: ) курсовая работа на тему региональная политика рф, S); ) S O OH S, O OH H H 4 + ( ), тк 4 4

40 H cos H H π arccos sin SO HO O + H H H SO O S S S 60 ( S) Ответ: ) π arccos ; ) 60 С-7 Дано: S пирамида, равнобедренная трапеция, 8 см, см, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 Найти: высоту пирамиды и S бок Тк грани равнонаклонены, то расстояния от т O до сторон трапеции равны 8 + можно вписать окружность 5 O O S Пусть радиус окружности равен r По формуле площади для описанной окружности S осн ( 0 6)(0 )(0 5) ( )r r высота пирамиды равна tg60 высота боковой грани равна 4 S бок Ответ: см, 40 см S H Дано: S пирамида, ромб, 60, a, S, S, (S, ) (S, ) 60 Найти: S бок H H asin60 a a S Htg60, 4

41 H SH a Sбок (S(S) + S(S)) cos 60 a a a + a a ( + ) a Ответ: ( + ) С-8 S Q P Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые грани N наклонены к плоскости основания под углом 60 Через центр основания проведена плоскость O Найти: S сеч Пусть O центр, N O, N, Q S, Q S, NP S, P S QPN искомое сечение; SO 60 S a 5 a S 5 a + a Q PN a, cos a QP, N a Sсеч 5 a 5 a a a a a a a a a a Ответ: S Q Дано: NPQ правильная четырехугольная усеченная пирамида, N P 0 см, N 6 см, S(PQ) 8 0 Найти: S бок H 0, NQ NH 5 N 5 + ( ) 8 N 4 S бок 4 (0 + 6) 96 Ответ: 96 см 44

42 С-9 Дано: призма,, F, F F Найти: ) векторы, сонаправленные с F ; F ) противоположно направленные ; ) векторы, имеющие длину, равную длине ), ), ) проецируется на биссектрису и на высоту и квадрат векторы:, uuuur Ответ: ), uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ; ), ; ), β α Дано:, α, β, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, α β F Найти: будут ли коллинеарны и F, F и F Будут, тк F Ответ: да, будут С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + 0, uuur uuuur uuuur Ответ: Ответ: 7 см Дано: пирамида; прямоугольник, 8 см, 5 см Найти: +, +,

43 С- uuur uuuur uuur Ответ: + 46 Дано: призма, Выразить через, uuur, и uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur, ( + ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur + + Дано: O точка пересечения диагоналей параллелепипеда, + + O Найти: +, + O O, O Ответ: С- P + P, P P 5 O P Дано: параллелепипед, P : :, P : P : 5 Разложить вектор P по векторам, и 5P P, 5 P P, P + 5 P 7 ( ) P +, 4 uuur + P P uuur uuur uuuur P Ответ: uuur uuur uuuur

44 Дано: тетраэдр Доказать: отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: Пусть середина, F, O середина F O ( + F) Дальше пусть P середина, F, O середина PF O Если теперь O середина отрезка, соединяющего середины и, то и в этом случае O + + O O O, те т O, O, O совпадают Этим и доказывается утверждение С- Дано: 90, 60, см, см ) S полнпов? 0 4, S бокS осн 4 Sполн пов 4( 4 + ) ) S? ; S 4 4, тк по теореме о -х перпендикулярах ) (, )? Искомый угол ; tg( ), 60 4) (, )? Искомый угол, tg( ) 0 47

45 5) Разложить по, ( + + ) 6) (, )?, ( ) ( ) ( ) Искомый угол 90 Ответ: ) 44 ( + ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) 0 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 С- O F ВАРИАНТ 4 Дано: В чем ошибка чертежа, где O F F должна быть проведена штрихами α P Дано: параллелепипед, P, Построить: ) P, P ; ) P ; ) P ) Проведем P до пересечения с точка их пересечения F искомая; проведем P до пересечения с точка их пересечения G искомая ) Проведем P ) Проводим, PS, S S P 48

46 С- Дано: параллелепипед Доказать, что прямые и, и, и являются скрещивающимися и скрещиваются, тк, а пересекает ее Аналогично и другие пары Дано: a b, a, b, через можно провести прямую, пересекающую лишь одну из прямых Лежит ли в одной плоскости с a и b? Нет, тк в плоском случае прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую С- Дано: a α, α Доказать: b: b α, a b, b Доказательство: Проведем β через a и, она пересечет α по прямой, параллельной a, тк a α, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, эта прямая будет искомой Чтд Дано: параллелограмм, 00, Построить: ; ; Найти: (, ) Проводим H, H H; H; параллелограмм (, ) (, ) тк угол между прямыми от 0 до 90 Ответ: ) 80 С-4 Дано: a, b, c не лежат в одной плоскости a b c, Доказать: Доказательство: a b, параллелограмм 00 a b c 49

47 Аналогично параллелограмм параллелограмм Чтд 50 Дано: α β, α, β Найти: взаимное расположение и Если, то параллельны или пересекаются, если и скрещиваются, то скрещиваются Ответ: Пересекаются или скрещиваются, если ; скрещиваются, если и скрещиваются С-5 Дано: параллелепипед, P P, P,, Найти: (, P) Тк, то параллелепипед прямой (P; ) 90 Ответ: 90 Дано: тетраэдр, 4 см, 6 см, 6 см, 45 Найти: S() По теореме косинусов (6 ) cos по формуле Герона S() см Ответ: 48 см С-6 P β α F Дано: тетраэдр, все ребра равны a, P, P P, : : Построить: сечение, проходящее через P и параллельно Найти: его площадь

48 Проводим PF, F PF искомое сечение, PF a a средняя линия PF По теореме косинусов: 4 a a a a P F + cos a a a a a a a S a a Ответ: 6 Дано: параллелепипед, P, Построить: сечение, проходящее через, P и Решение Проводим P S S () Проводим S F PF искомое сечение a a a a 6 a a a F S P С-7 Дано: α, α, 4, α, 0,, α, α, α, α Найти: Проводим среднюю линию трапеции Из подобия следует ; ; 5; α 0 5 Ответ: Дано: α, a α, b a, b α, b β, β α c Найти: взаимное расположение b и c a α, b a b α b c Ответ: b c 5

49 С-8 Дано:, середина, Доказать: Доказательство:, тк равнобедренный Тк и, то () тк () Чтд Дано: окружность (O, O), окружности, окружность лежит в плоскости α, α, диаметр окружности, хорда, 45, O Доказать: прямоугольный Найти: O α прямоугольный (тк опирается на диаметр ), и по теореме о -х перпендикулярах прямоугольный, ВСА прямоугольный, 4 sin45 Из :, по теореме Пифагора + 8 Ответ: С-9 Дано: плоскости α β; точка ;, α α, β, прямым, ;, 50, перпендикуляр решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за α, 4, L перпендикуляр к β Найти: L β L L по двум углам L () L L по двум углам () 5

50 L Умножим () на (), получим ; L учитывая, имеем L L L L Ответ: 54 С-0 Дано:, m, 0, P, PH, H, PH m Найти: P H прямоугольный (H H по теореме о -х перпендикулярах); H60 80 ; m P H H sin60 m Из прямоугольного PH по теореме Пифагора P PH H Дано:, 90, 0, 5, 5 Найти: угол между и плоскостью Из т на плоскость опустим перпендикуляр H H центр описанной окружности H H H R R, m m m m Ответ: 4 5 тк радиус равен половине гипотенузы ; cos cos 0 5 R H ; 5 Из прямоугольного H: cos 0 H 5 cos H Ответ: cos cos 0 0cos0 H 5

51 С- Дано: α β c, α, α, α р(, β) 60 см, р(, β) 48 см Расстояние от одной из точек до c равно 50 β Найти расстояние от другой Тк 48 < 50 < 60, то р(, С) sin( (α, β)) c р(, c) 6,5 см Ответ: 6,5 см sin αβ (, ) 4 α P Дано:, 90, α, Q S α, (α, ) 0 Найти: (, α) N Строим: H H (α ) H, α, N H, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, N α H N α Через т и N проводим в α прямые, перпендикулярные к N, и опускаем на них перпендикуляры из точек и Пусть их основаниями являются точки Q и P соответственно Через т в α проводим прямую, перпендикулярную N Пусть PQ пересекает ее в т S Очевидно, SH α a a Пусть a H Q P sin0 SH SH a (α, ) arcsin arcsin 45 Ответ: 45 H a С- H F Дано: правильный, 4,, (, ) 90, (, ) 60 Найти: S() H H, HF F FH 60 54

52 HF 4 H S() 4 6 Ответ: 6 Дано: прямоугольный параллелепипед, квадрат, ) Найти: N ) Доказать: ) 9, 9 Пусть, N, тогда, тк параллелепипед прямоугольный, то ( ) N ( ) и N (тк, то N параллелограмм и N) N ( ) Чтд Ответ: ) С- Дано: правильная S F четырехугольная призма, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, a, 4a Через и середину 4 проведена плоскость Найти: S сеч O Пусть F середина Проводим F, F искомое сечение a F a PQ средняя линия PQ H, O OH 4 SO Ответ: 4 a Пусть S середина F 4 a a a a a + a S сеч a a 4 55

53 Дано: прямой параллелепипед, ромб, m, 5, через и проведена плоскость α, (α, ) 60 Найти:, S сеч H H H H 60 m S( ) H m H tg60 m 6m S( ) 6 m S сеч m Ответ:, m cos60-4 H Дано: прямой параллелепипед, 7, 5, 60, (, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, ) 45 Найти: S бок H H H 45 По теореме косинусов S() S H 6 S бок + ( + ) (7 + 5) Ответ: 0 С-5 Дано: наклонный параллелепипед, квадрат, a, b Найти: S( ) 56

54 Тк, то проецируется на Но высота равна S( ) ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, S бок 880, р(, ):р(, ) Q 7 : 5, Р(, ) 6 N Найти: (( ), ( )), P (( ), ( )) углы между гранями Проводим NPQ перпендикулярное сечение S бок 0 р(npq) р(npq)88 Пусть QP 7x Q 5x р 88 44x x QP 4, Q 0 По теореме косинусов: Q QP arccos Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 Ответ: 0 и 60 + QP P Q QP 40 arccos arccos С-6 S Дано: S правильная четырехугольная пирамида, (S, ) 60, H р(, S) 4, середина Найти: S бок F O Проведем F SF SF 60 H SF H 4 F 8 O центр F FO 4 SO 4 tg60 4 SF S бок Ответ: 8 57

55 S Дано: S правильная треугольная пирамида, высота основания равна, рас- стояние от середины основания до противоположного ребра равно Найти: ) углы между боковыми гранями; O ) плоский угол при вершине ), S, По теореме о -х перпендикулярах S S S, S arctg (, тк 4, тк и правильный) ) arcsin 4 S 80 arcsin 4 Ответ: ) arctg ; ) 80 arcsin 4 С-7 S Дано: S пирамида, ромб, a, 60, боковые грани наклонены под углом в 60 к плоскости основания Найти: высоту, S бок O SO, O N N O, N N ; S( ) a sin 60 a N O a a, тк O, 4 a то S SO 45 O SO и S 4 4 a 6a S бок 4 a 4 Ответ: 6a 58

56 Дано: пирамида, a, 0, () (), () (), ((), решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, ()) 45 Найти: S бок Тк и Проведем H, по ТТП H и Н 45 H Hsin H sin(80 0 ) a a 6 H H, тк H и H 45 H a a sin, H Sбок ( H + + ) a 6 a a a a+ a + a 4 a Ответ: ( 6 ) ( 6 ) + + С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые S Q грани наклонены к основанию под углом 60, через сторону основания пер- P пендикулярно к противоположной стороне проведена плоскость L O H Найти: S сеч SH, HL HL SHL 60 L SH PQ, PQ PQ S LH L L PQ QP искомое сечение SO высота пирамиды a LH a L asin60, SH a cos 60 a, 59

57 a a H a cos60 PQ S сеч a a a a a + Ответ: 8 8 Дано: F усеченная правильная пирамида, 8, 6 Через боковое ребро и середину противо- F положной стороны верхнего основания проведена плоскость, S сеч O N Найти: Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за бок F, F; проводим N, N N данное сечение и трапеция F равнобокая и середина F, N середина N и N F N апофема 6 9, N 8 ; O N O S ( N ) + N Спроецируем F на, получим F, у которого O 6, O, но O 8, ON 4 N N O F N S бок (6 + 8 ) 4 Ответ: 4 С-9 Дано: параллелепипед, ромб, F F и середины и соответственно Записать векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: ) сонаправлены с F ; ) противоположно направлены ; ) имеют длину, равную 60

58 ) F средняя линия F F это и ) Очевидно, это и, тк ) Очевидно, и Дано: α β, α γ, β γ, γ α, β Будут ли коллинеарны и? γ α и β будут γ Ответ: да α β С-0 Дано: параллелепипед Найти: Ответ: Дано: треугольная призма, правильный, см, O середина Найти: O O + O O O O cos0 Ответ: см см 6

59 С- Дано: тетраэдр, медиана, середина Выразить: через, и ( + ) + ( + ) + ( + ) Ответ: Дано: параллелепипед, диагонали пересекаются в т O, ( O + + ) Найти: O + + O + O, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, O Ответ: С- Дано: тетраэдр, O т пересечения медиан, F, F F : F : Разложить OF по, и OF F O O + ( + ) 4 + ( ) ( + ) Ответ: + 4 Дано: параллелепипед Доказать: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (используя векторы) Доказательство: Пусть O середина, тогда O

60 Пусть O середина O O и O совпадают; для других аналогично С- Дано: тетраэдр, 4 см, см, 90, 60,, O точка пересечения медиан Найти: ) S бок ; ) S сеч плоскостью ; ) решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, ); 4) (, ); 5) разложить O по, и ; O 6) (, ) ) (4 ) S бок tg60 cos см ) ( ) S() 4 4 см ) (, ) arctg 60 4) аналогично пункту (, ) 4 arctg 60 arctg 60 5) O + O + ( + ) + ( + ) ( + + ) 6) (, ) (, ) 90 Ответ: ) ( + 56 ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) arctg 60 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 6

61 С- O N ВАРИАНТ 5 Дано: трапеция,, середина, O, () Найти: при каком условии, O и лежат в одной плоскости O (), когда O, тк середина, то O середина Ответ: когда O середина Построить линию пересечения плоскостей ( ) и ( ) Построение:, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, N, N, N, N искомая прямая С- b F a F P Дано: a и b скрещивающиеся прямые Найти: взаимное положение прямых F и a, F и b Если прямые F и a, F и b параллельны или пересекаются, то прямые и лежат в одной плоскости Значит, прямые a и b лежат в одной плоскости противоречие Значит, F и a, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, F и b скрещиваются Ответ: они попарно скрещиваются Дано: тетраэдр, F, P, середины,, соответственно Доказать: P и F пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: средняя линия Значит, 64

62 FP средняя линия Значит, FP, FP Значит, FP и FP Значит FP параллелограмм Его диагонали F и P пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд С- Дано: и не лежат в одной плоскости, середина, H середина, середина, (H) P Доказать: PH и пересекаются и решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за пересечения делятся пополам Доказательство: H средняя линия Значит, H, H Значит, (H) пересекает () по прямой, параллельной Значит, P средняя линия P, P Значит, PH параллелограмм Его диагонали PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд Дано: параллелограмм, 0, ) Построить линию пересечения OO плоскостей, решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за, проходящих через прямую и точку и прямую и точку ) Найти взаимное положение OO и ) (OO, )? ) Через т проведем прямую H, параллельную H H Через т проведем прямую F, параллельную F F, O, F H O OO линия пересечения плоскостей () и ( ) ) ( ), ( ) Значит, OO ) OO, (; OO ) (; ) Ответ: ) OO ; ) 60 P H O F O H 65

Показать еще

Источник:



1 комментариев

  1. Я извиняюсь, что немного не в тему, а что таковое RSS? и ка на него подписаться?

Ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *